هوش و استعداد به چیز های ساده ای که یاد می گیریم نیست.

 بلکه به فهم آن چه یاد گرفته ایم است
(جوزف ویتنی)

واقعیت این است که ریاضیات مقدماتی (آن چه در دوره‎های قبل از ورود به موسسات آموزش عالی ارایه می‌گردد) آن چنان به‌سادگی وارد علم نشده‌اند. هر بخش آن مستلزم هزاران سال کار فکری بشر بوده است و هیچ گاه اتفاقی یا در واقع بدون زحمت به‌دست ما نرسیده است. اطلاع از تاریخ این امکان را در اختیار ما می‌گذارد که حداقل قدر دانش را دانسته و با الفاظ ریاضیات درس خوبی نیست یا ریاضیات را دوست ندارم، به اینگونه ابراز احساس در برابر آن نپردازیم.
   

در این مقاله خواهیم کوشید اشاره‌ای به کشف کمیت‌های گنگ (غیرگویا) داشته باشیم. خواننده‌ی علاقه‌مند قطعا این مطالب را کافی نخواهد یافت و لذا برای مطالب بیشتر به کتاب‌های تاریخ ریاضیات یا تاریخ علوم ارجاع داده می‌شود.

اعتقاد داریم آن چه را لازم است باید انجام دهیم تا ریاضیات چهره‌ی زیبای خود را به همگان نشان دهد. اعداد صحیح تجربه‌هایی هستند که از روند شمارش دسته‌های متناهی اشیا ناشی می‌شوند. نیازهای زندگی روزمره ما را ملزم می‌سازند که علاوه بر شمارش اشیا منفرد، کمیات مختلفی از قبیل طول، وزن و زمان را اندازه بگیریم. برای برآوردن این احتیاجات ساده‌ی اندازه‌گیری، کسر‌ها را لازم داریم، زیرا ‌به‌عنوان مثال، به‌ندرت پیش می‌آید که طولی شامل عده‌ی دقیقا صحیحی از واحدهای خطی باشد. بنابراین، اگر عدد گویا را به‌صورت خارج‌قسمت دو عدد صحیح تعریف کنیم،  p/q،  که در آن q≠0 باشد، این دستگاه اعداد گویا، از آن جا که شامل همه‌ی اعداد صحیح و کسرهاست، برای مقاصد عملی اندازه‌گیری، کفایت خواهد کرد. (علوم براساس قراردادها استوارند. اصولی را پذیرفته، سپس بر اساس آن‌ها نیازهای آینده را نتیجه‌گیری می‌کنیم. این به‌نظر بهترین راه می‌آید.)
   

اعداد گویا تعمیم هندسی ساده‌ای دارند (که به آن اشاره نمی‌کنیم، در تمام نوشته‌جات مقدماتی می‌توان مطالب کافی در این مورد پیدا کرد). ریاضی‌دانان اولیه تصور می‌کردند تمام نقاط این محور توسط اعدادگویا به‌کار گرفته می‌شوند. این تصور درست نبوده است. اطلاع از این که نقاطی بر خط وجود دارند که متناظر با هیچ عدد گویایی نیستند، قاعدتا می‌بایست تکان‌دهنده بوده باشد. این کشف یکی از بزرگ‌ترین دستاوردهای فیثاغورس بود. فیثاغورسیان، به‌ویژه، نشان دادند که هیچ عدد گویایی نظیر نقطه p بر روی خط به‌طوری که فاصله op ا(اo را مبدا می گیریم) در آن مساوی قطر مربعی به طول واحد باشد، وجود ندارد. اکنون لازم بود اعداد جدیدی ابداع شوند که متناظر با چنان نقاطی باشند، و چون این اعداد نمی‎توانند گویا باشند اعداد گنگ نام یافتند. کشف آن‌ها یکی از برجسته‌ترین حوادث را در کل تاریخ ریاضیات مشخص می‌کند.

کشف وجود اعداد گنگ، براي فيثاغورسيان حيرت آور و نگران‌کننده بود. قبل از همه، اين کشف ضربه‌ي مهلکي بر فلسفه‌ي فيثاغورسي، که همه‌چيز را به اعداد صحيح وابسته مي‌دانست، تلقي شد. ديگر آن که، اين مطلب مغاير با عقل سليم به نظر مي‌آمد، زيرا به‌طور شهودي حس مي‌شد که هر کميتي با يک عدد گويا قابل بيان است. همتاي هندسي آن نيز همان قدر تکان‌دهنده بود، زيرا چه کسي مي‌توانست در اين ترديد کند که به‌ازاي هر دو قطعه خط مفروض مي‌توان خط سومي، هر چند بسيار بسيار کوچک، پيدا کرد به‌طوري که به تعداد دفعات صحيح در هر يک از دو خط مفروض بگنجد؟

به‌عنوان اين دو قطعه خط، يک ضلع s و يک قطر d از مربعي را اختيار کنيد. حال اگر قطعه خط سومي مانند t وجود داشته باشد که به‌تعداد دفعات صحيح در s و d بگنجد. خواهيم داشت:

 که در آن a, b اعداد صحیح مثبت هستند. 
اما اگر d=s√2 باشد، که از آن نتيجه مي شود at=bt√2 يعني  a=b√2 و يا  √2=a/b    ، پس2√ یک عدد گویا است.

ولی ار آنجا 2√ نمي‌تواند گويا باشد به وضوح تناقض داریم! به این ترتیب، برخلاف برداشت شهودي ما، قطعه خط هايي نامتوافق وجود دارند. يعني قطعه خط‌هايي که داراي مقياس اندازه‌گيري مشترکي نيستند.

تا مدت‌ها 2√ عدد گنک شناخته شده بود (این امکان وجود دارد که (√5-1)/2  که نسبت ضلع پنج ضلعی منتظم به قطر آن است، اولین عدد گنگ شناخته شده باشد، اما احتمالش کمتر از مقدم بودن بر گنگ بودن 2√ است که ما 2√ را به عنوان اولین عدد گنگ شناخته شده پذیرفته ایم).

بعدها به‌گفته‌ی افلاطون، تئودوروس کورنه‌یی (حدود 425 قبل از میلاد) نشان داد که 3√  ، 5√، 7√، 8√، 10√، 11√، 12√، 13√، 14√، 15√، 17√ نیز گنگ هستند. سپس در حدود 370 سال قبل از میلاد این رسوایی توسط ائودوکسوس زیرک، شاگرد افلاطون و آرخوتاس، که از فیثاغورسیان بود، با ارائه‌ی تعریف جدیدی از تناسب مرتفع گردید. بررسی ماهرانه ائودوکسوس در مورد کمیت‌های نامتوافق در مقاله‌ی پنجم اصول اقلیدس اساسا با توصیف اعداد گنگ که به‌وسیله ریچارد ددکیند، ریاضی‌دان آلمانی، در سال 1872 داده شد، منطبق است. مطالعه مثلث‌های متشابه در کتاب‌های هندسه‌ی دبیرستانی امروزی هنوز برخی از مشکلات و ظرافت‌هایی را که به‌واسطه‌ی کمیت‌های نامتوافق به‌میان آمده‌اند، نشان می‌دهد.