« مجموعه چيست ؟ » يا « به چه چيزي مجموعه گفته مي شود ؟ »

اين ها اولين سوالاتي هستند كه درباره ي مجموعه ها مطرح مي شوند. ساده ترين پاسخي كه به اين گونه سوالات داده مي شود، اين است : « مجموعه گردايه اي از اشياء است. » مثلا ً مجموعه ي كتاب هاي يك قفسه يا مجموعه ي پرتقال هاي موجود در يك جعبه ميوه و ...

اما اگر كمي كنجكاو باشيم، مي توانيم اين سوال را مطرح كنيم كه:« گردايه چيست؟ » . « گردايه، انبوهي از چيزهاست. » و ...

اگر همچنان به كنجكاوي خود ادامه دهيم، در پاسخ به اين قبيل سوالات، تعدادي از كلمات ِ هم معني با مجموعه رديف خواهد شد و پس از چند كلمه، به جايي مي رسيم كه مجبور خواهيم شد دوباره از كلمه ي مجموعه استفاده كنيم. به اين ترتيب به تعريفي دوري براي مجموعه خواهيم رسيد كه از لحاظ منطقي بي ارزش خواهد بود. چاره چيست ؟

در چنين مواردي ، نياز به مفاهيم اوليه اي است كه آن ها را بدون تعريف مي پذيريم، با اين فرض كه برداشت هاي افراد از اين مفاهيم ، به قدر كافي به يكديگر شبيه است و هيچ ابهامي در فهم آن ها وجود ندارد. گاهي نيز براي رفع ابهام و مشخص تر كردن منظور، تعريفي صوري براي اين مفاهيم مي آورند.

ما مجموعه را جزء مفاهيم اوليه مي دانيم و تعريفي براي آن ارائه نمي دهيم. اما رياضي دان نامي، كانتور، تعريف زير را براي مجموعه ارائه كرده است :

 كانتور مي گويد : « مجموعه گردايه اي از اشياء متمايز در شعور ماست كه به اين اشياي ِ مجزا، اعضاي مجموعه مي گوييم. »

 « مجموعه ي تهي » مجموعه اي كه هيچ عضوي ندارد، را با نماد {} يا  نمايش مي دهند. مجموعه ي ناتهي را به دو روش زير بين دو كمانك «{» و «}» نمايش مي دهند :

1. مجموعه را با نوشتن اعضاي تمام اعضايش نمايش مي دهيم و براي جدا كردن اعضا از كاما يا ويرگول استفاده مي كنيم. مانند : 

2. مجموعه ي اشيايي كه در يك خاصيت معين صدق مي كنند. مثلا ً مجموعه ي اعداد طبيعي فرد را به صورت زير نمايش مي دهيم.

{x عددي فرد است | x عددي طبيعي است }

به طور كلي اگر  يك خاصيت درباره ي x باشد ، مجموعه ي تمام xهايي كه داراي خاصيت  هستند را با نماد  نمايش مي دهيم.در اصول موضوعه ي مجموعه ها، اين موضوع با اندكي تغيير، به « اصل تصريح » مشهور است.

نام گذاري مجموعه ها :

مجموعه ها را با حروف بزرگ انگليسي نام گذاري مي كنند. البته براي مجموعه هاي مهم مانند مجموعه ي اعداد طبيعي، حسابي، گويا، حقيقي و مختلط از حروف خاصي استفاده مي شود كه به ترتيب عبارتند از :  ، W ،  ،  ،  و  كه به زودي آنها را معرفي خواهيم كرد.

 

نام گذاري و نمايش اعضاي مجموعه ها :

مرسوم است كه اعضاي يك مجموعه را با حروف كوچك انگليسي نام گذاري مي كنند. براي نمايش دادن مفهوم عضويت در مجموعه ها از نمادي با همين نام استفاده مي شود. « نماد عضويت » ، «  » با دو پارامتر در دو طرف آن بكار مي رود. آنكه در سمت چپ ِ نماد قرار مي گيرد، عضوي از طرف راست آن است. پس به اين ترتيب، اگر A يك مجموعه و x عضوي از آن باشد، به صورت « » نوشته مي شود كه « x عضوي از A است »‌ يا « x در A است » خوانده مي شود.

 

 

 

اگر براي دو مجموعه ي A و B بنويسيم « » به اين مفهوم است كه مجموعه ي B ، مجموعه ي A را به عنوان يك عضو داراست.

 

همچنين براي آنكه بخواهيم بگوييم « عضوي در مجموعه اي نيست » از نماد « عدم عضويت» ، «  » مانند نماد عضويت استفاده مي كنيم. پس در مثال قبل مي توانيم بنويسيم « » كه خوانده مي شود « A در B نيست » يا « A عضوي از B نيست. » .

 

با اين نمادها مي توانيم مجموعه هاي اعداد طبيعي، حسابي، صحيح، گويا، گنگ، حقيقي و مختلط را به صورت نمادي نمايش دهيم. منظور ما از اين مجموعه ها به قرار زير است :

 

مجموعه ي اعداد طبيعي ( ) : .

 

هر گاه بخواهيم بگوييم كه اعداد يا نماد ها به ترتيب خاصي كه از قبل شروع شده است، ادامه مي يابند از نماد «  » استفاده مي كنيم.

 

مجموعه ي اعداد حسابي ( W ) :  .

مجموعه ي اعداد صحيح (  ) :  .

مجموعه ي اعداد گويا (  ) :  .

مجموعه ي اعداد حقيقي (  ) : مجموعه اي كه شامل تمام اعداد گويا و گنگ مي باشد.

اعداد گنگ :اعدادي هستند كه نمي توانيم آنها را به صورت عدد گويا نمايش دهيم مانند  ،  و ...

تساوي دو مجموعه :

دو مجموعه ي A و B را مساوي گوييم هرگاه اعضاي همانند داشته باشند. دو مجموعه ي مساوي را با گذاشتن نماد تساوي « = » بين آنها نمايش مي دهيم.

اگر دو مجموعه ي A و B با هم برابر نباشند، آن ها را دو « مجموعه ي مجزا » گوييم و با

نماد «  » نمايش مي دهيم 

زیر مجموعه

اگر تمام اعضاي مجموعه ي مفروض A ، در مجموعه ي مفروض B نيز باشند، گوييم A زير مجموعه ي B است. براي نمايش دادن اين مفهوم از نماد « زير مجموعه » يعني «  » با دو پارامتر در دو سمت آن به اين ترتيب استفاده مي كنيم كه مجموعه ي سمت چپ ِ نماد، زيرمجموعه ي مجموعه ي سمت راست است. پس عبارت « » به صورت « A زير مجموعه ي B است » تلقي مي شود.

نكته 1 : اگر« » و « » ، يعني اگر هر عضو A در B وهر عضو B در A باشد، آنگاه A و B برابر خواهد بود يعني A=B . در رياضيات معمولا ً براي آنكه نشان دهند دو مجموعه با هم برابرند، نشان مي دهند كه هركدام زير مجموعه ي ديگري است.

با استفاده از سورها ،  را به صورت زير تعريف مي كنيم :

اگر  و  ، در اين صورت A را « زير مجموعه ي سره » ي B مي ناميم و با نماد «  » نمايش مي دهيم.

A زير مجموعه ي سره ي B است به اين مفهوم است كه علاوه بر تمام اعضاي A ، حداقل يك عضو ديگر در B وجود دارد كه اين عضو در A نيست. مثلا ً

اگر  و  در اين صورت A زير مجموعه ي سره ي B است زيرا B علاوه بر 1و2، عضو 3 را نيز دارد.

اگر  ، در اين صورت B را « ابر مجموعه » ي A مي ناميم و اگر ، B را « ابر مجموعه ي سره » ي A مي ناميم. 

 اجتماع مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه ي دلخواه باشند، منظور از اجتماع A و B ، مجموعه اي است كه تمام اعضاي A وتمام اعضاي B را داشته باشد و هيچ عضو اضافه ي ديگري نداشته باشد.

 اجتماع مجموعه ها را با نماد « اجتماع » يعني «  » نمايش مي دهند. پس نماد «  » ، « اجتماع  A و B » يا « A اجتماع B » خوانده مي شود.

نمايش سوري « » به شكل زير است : 

 

 

نمودارهاي ون :

 

معمولا ً براي درك بهتر اعمال مجموعه ها، از نمودار هايي موسوم به « نمودارهاي ون » استفاده مي شود. در« نمودارهاي ون » مجموعه ها را با اشكال هندسي در صفحه ، معمولا ً دايره ، نمايش مي دهند.

نمودار ون  زير اجتماع A و B را نمايش مي دهد.  تمام قسمت هاي آبي رنگ است.

نمودار ون اجتماع دو مجموعه

 

اجتماع مجموعه ها را مي توان براي چندين مجموعه نيز تعريف كرد . اگر ، مجموعه هاي دلخواه باشند، اجتماع آن ها را با نماد  نمايش داده و به صورت زير تعريف مي كنيم : 

 

اشتراك مجموعه ها :

اگر A و B دو مجموعه باشند، منظور از اشتراك A و B ، مجموعه ايست شامل آن عضوهايي كه هم در A و هم در B باشند و به جز اين عضوها، عضو ديگري نداشته باشد.اشتراك مجموعه ها را با نماد « اشتراك » يعني « » نمايش مي دهند. پس نماد « » ، « اشتراك A و B » يا « A اشتراك B » خوانده مي شود.

با استفاده از سورها اشتراك A و B به صورت زير تعريف مي شود :

نمودار ون زير، قسمت قرمز رنگ، اشتراك دو مجموعه ي A و B را نمايش مي دهد .

نمودار ون اشتراك دو مجموعه

 

گسترش ( تعميم ) اشتراك مجموعه ها :

اگر ، مجموعه هاي دلخواه باشند، اشتراك آن ها را با نماد  نمايش داده و به صورت زير تعريف مي كنيم :

 

مجموعه هاي جدا از هم :

اگر دو مجموعه ي A و B هيچ عضو مشتركي نداشته باشند، آن ها را « جدا ازهم » گوييم. يعني اشتراك دو مجموعه ي جداازهم تهي مي باشد.

  تفاضل مجموعه ها :

براي دو مجموعه ي A و B ، منظور از تفاضل A از B‌ ، مجموعه ايست شامل آن عضوها از B كه در A  نيستند و جز آن ها عضو ديگري ندارد.

« تفاضل A از B » را با نماد «  » نمايش مي دهند و « متمم A نسبت به B » نيز ناميده مي شود.

در زبان سورها، تفاضل A از B به صورت زير تعريف مي شود :

 

نمودارهاي ون « تفاضل A از B‌ » را اين گونه نمايش مي دهد( قسمت قرمزرنگ ): 

 

نمودار ون تفاضل A از B

 متمم يك مجموعه :

معمولا ً در هر مبحثي از رياضيات، از مجموعه اي به عنوان مجموعه ي مرجع ياد مي كنند. مجموعه ي مرجع، مجموعه ي اصلي در بحث مورد نظر است و تمام مجموعه هاي ديگر به عنوان زيرمجموعه اي از آن در نظر گرفته مي شوند. مثلا ً اگر در مورد اعداد صحبت كنيم ، مي توانيم مجموعه ي اعداد طبيعي را مجموعه ي مرجع در نظر بگيريم و در بحث توابع مختلط ، مجموعه ي اعداد مختلط مجموعه ي مرجع خواهد بود.به طور كلي مجموعه ي مرجع را با حرف انگليسي U نمايش  مي دهند.

متمم يك مجموعه، با تعريف مجموعه ي مرجع معنا پيدا مي كند. اگر A يك زير مجموعه از مجموعه ي مرجع U باشد، متمم A در U را با نماد «  » يا «  » نمايش مي دهند و شامل آن عضو ها از مجموعه ي مرجع است كه در A نباشند. به عبارت ساده تر اگر از مجموعه ي مرجع، اعضاي مجموعه ي A را برداريم ، آنچه باقي مي ماند را «  » مي ناميم.

به زبان سورها متمم A به صورت زير تعريف مي شود :

 

در نمودار هاي ون، مرسوم است كه مجموعه ي مرجع را با مستطيل نمايش مي دهند. در نمودار ون زير قسمت قرمز رنگ متمم A را نمايش مي دهد.

 

نمودار ون متمم A

 تفاضل متقارن :

براي تفاضل متقارن دو مجموعه ي A و B سه تعريف وجود دارد كه در زير آمده است. اثبات اينكه اين تعريف ها معادل اند در بخش قضيه ها آمده است. تفاضل متقارن A و B را با نماد «  » نمايش مي دهيم.

تعريف 1 تفاضل متقارن : براي دو مجموعه ي A و B ، تفاضل متقارن A و B را به صورت اجتماع ِ تفاضل A از B و تفاضل B از A تعريف مي كنيم. پس :

  

تعريف 2 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، «  » برابر با تفاضل اشتراك A و B از اجتماع A و B . يعني :

 

تعريف 3 تفاضل متقارن : اگر A و B دو مجموعه باشند، «  » مجموعه ي آن عضوهايي از A و B است كه يا در A باشند و يا در B ولي در هردو نباشند. پس : 

  

البته تفاضل متقارن A و B را با نماد «  » نيز نمايش مي دهند.

در نمودار ون زير، ناحيه ي قرمز رنگ تفاضل متقارن A و B است :

 

نمودار تفاضل متقارن A و B 

 مجموعه ي تواني :

اگر A مجموعه ي دلخواه باشد، مجموعه اي كه شامل تمام زير مجموع هاي A باشد و جز آن عضو ديگري نداشته باشد، مجموعه ي تواني A  ناميده مي شود. پس مجموعه ي تواني A ، مجموعه اي از مجموعه هاست كه اين مجموعه ها زير مجموعه ي A هستند.

« مجموعه ي تواني A » را با نماد «  » نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي شود :

حاصلضرب دكارتي مجموعه ها

اگر A و B دو مجموعه باشند، « حاصلضرب دكارتي » آن ها را با نماد «  » نمايش مي دهيم و به صورت زير تعريف مي كنيم :

بنابر اين حاصلضرب دكارتي دو مجموعه ، يك مجموعه است و اعضاي آن دوتايي هاي مرتب ( زوج هاي مرتب ) هستند. در هر دوتايي مرتب، مؤلفه ي اول ( a ) از مجموعه ي اول ( A ) و مولفه ي دوم ( b ) از مجموعه ي دوم ( B ) انتخاب مي شود.

مثال : اگر  و  در اين صورت

همچنين

اين مثال نشان مي دهد كه حاصلضرب دكارتي مجموعه ها، جابجايي نست. يعني در حالت كلي «  »، زيرا اگر A و B مجموعه هاي ناتهي و مجزا باشند، عضوي مانند x در A ‌هست كه در B نيست. پس  داراي دوتايي مرتبي با مولفه ي اول x است. اما  چنين دوتايي مرتبي ندارد.

 

گسترش ( تعميم ) حاصلضرب دكارتي :

حاصلضرب دكارتي مجموعه ها را مي توان به بيش از دو مجموعه گسترش داد. حاصلضرب دكارتي n مجموعه ي  به صورت زير تعريف مي شود :

درواقع حاصلضرب دكارتي n مجموعه، مجموعه ي n-تايي هاي مرتبي است كه هر n-تايي مرتب، مؤلفه ي اول خود را از مجموعه ي اول و مؤلفه ي دوم خود را از مجموعه ي دوم و ... و مؤلفه ي n-ام خود را از مجموعه ي n-ام مي گيرد

اندازه ي مجموعه ها

اگر A يك مجموعه باشد، منظور از « اندازه ي A »، تعداد عضوهاي A است. مثلا ً اگر  و باشند، اندازه ي A برابر با 4 و اندازه ي B برابر با 3 است زيرا A ، 4 عضو و B ، 3 عضو دارد.

اندازه ي مجموعه ي A را با نماد « |A| » نمايش مي دهيم . 

مجموعه ي متناهي و نامتناهي

اگر « اندازه ي مجموعه ي A يك عدد طبيعي » باشد ، گوييم « A يك مجموعه ي متناهي » است. مجموعه اي كه متناهي نباشد، يعني اندازه ي آن را نتوانيم با يك عدد طبيعي نشان دهيم، يك « مجموعه ي نامتناهي » ناميده مي شود.

مجموعه ي اعداد زوج كوچكتر از 100 يك مجموعه ي متناهي است و مجموعه ي اعداد حقيقي بين 3و4 يك مجموعه ي نامتناهي است زيرا اندازه ي مجموعه ي اول يك عدد طبيعي است و اندازه ي مجموعه ي دوم يك عدد طبيعي نيست.

اگر A و B دو مجموعه ي متناهي باشند، در اين صورت  . يعني اندازه ي حاصلضرب دكارتي A و B ، برابر است با حاصلضرب اندازه ي A و اندازه ي B .

زيرا هر مؤلفه ي اول  را از مجموعه ي A و از بين |A| عضو انتخاب مي كنيم و پس از آن براي هر مؤلفه ي اول، مؤلفه ي دوم ِ دوتايي مرتب را از مجموعه ي B و از بين |B| عضو انتخاب مي كنيم.